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Dans cette vidéo de cours, nous allons explorer les représentations paramétriques des droites en trois dimensions. Ces équations nous permettront de déterminer si un point donné appartient à une droite spécifique.
Tout d'abord, il est essentiel de noter que les points et les vecteurs en trois dimensions peuvent être exprimés en termes de coordonnées. Cela signifie que chaque point, tel que A, possède des coordonnées X, Y et Z, tandis que chaque vecteur, tel que U, est défini par des coordonnées A, B et C.
La clé pour comprendre si un point M appartient à une droite D réside dans la représentation paramétrique de la droite. Pour qu'un point M appartienne à la droite D, trois équations doivent être vérifiées. Chacune de ces équations lie les coordonnées de M à celles du point de référence A et du vecteur directeur de la droite (A, B, C).
Ces équations se présentent comme suit :
X = XA + T * A
Y = YA + T * B
Z = ZA + T * C
Le T ici est une inconnue réelle que nous devrons déterminer dans nos exercices. Pour qu'un point M appartienne à la droite D, le même T doit être utilisé dans les trois équations.
Pour déterminer si un point M appartient à la droite D, nous vérifierons que les trois équations ci-dessus sont respectées avec le même T. Par exemple, si nous trouvons que T = 2 dans l'une des équations, nous devons également trouver T = 2 dans les deux autres.
Cette méthode permet de vérifier de manière concluante si un point donné appartient ou non à une droite spécifique en utilisant les coordonnées du point M, les coordonnées de A et les composantes du vecteur directeur de la droite.
La représentation paramétrique des droites en trois dimensions est un outil essentiel dans la résolution d'exercices. Il peut être nécessaire de déterminer les coordonnées de A et des composantes du vecteur directeur pour obtenir la représentation paramétrique de la droite. Ensuite, il suffira de vérifier si un point M donné appartient à cette droite en utilisant la méthode que nous avons décrite.
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