🟡 Exercices corrigés sur les suites numériques

Exploration des Suites Numériques en Première : Vidéo et Exercices

Bienvenue dans cette troisième vidéo passionnante sur le thème des suites numériques en classe de première. Si vous avez suivi les vidéos précédentes, vous avez déjà acquis les connaissances de base, les formules essentielles et les méthodes nécessaires pour exceller dans les exercices. Dans cette vidéo, nous allons mettre en pratique vos compétences en résolvant des exercices variés, vous permettant de gagner en autonomie et en confiance.

Les Trois Étapes de Maîtrise

Avant de plonger dans les exercices, rappelons rapidement les trois étapes clés pour maîtriser les suites numériques :

Étape 1 : Modélisation

Avant de résoudre un exercice, il est crucial de modéliser le problème en utilisant des suites numériques. Comprenez comment les valeurs évoluent et établissez une relation mathématique entre les termes.

Étape 2 : Calculs et Formules

Une fois que vous avez déterminé la relation entre les termes de la suite, utilisez les formules que vous avez apprises pour effectuer les calculs nécessaires. Que ce soit pour une suite arithmétique ou géométrique, maîtrisez les formules de récurrence et d'expression explicite.

Étape 3 : Analyse et Interprétation

Après avoir obtenu les résultats, analysez-les avec soin. Interprétez ce que signifient les valeurs obtenues dans le contexte du problème. Sachez expliquer vos conclusions de manière claire et concise.

Exercice 1 : Suites Définies par Récurrence

Débutons par un exercice classique où nous avons une suite définie par récurrence. L'objectif est de trouver les premiers termes de la suite et de comprendre comment les valeurs évoluent. La suite est définie comme suit :

v_n+1 = 0.5 * v_n + 3

On commence par v₀ = 1. Pour calculer v₁, nous utilisons la formule de récurrence :

v₁ = 0.5 * v₀ + 3 = 0.5 * 1 + 3 = 3.5

En continuant ce processus, nous trouvons les valeurs de v₂ et v₃ :

v₂ = 0.5 * v₁ + 3 = 0.5 * 3.5 + 3 = 4.75

v₃ = 0.5 * v₂ + 3 = 0.5 * 4.75 + 3 = 5.375

Donc, les premiers termes de la suite sont : v₀ = 1, v₁ = 3.5, v₂ = 4.75, et v₃ = 5.375.

Exercice 2 : Suites Géométriques

Passons maintenant à une suite géométrique. Nous avons la suite suivante :

W_n = W₀ * 2ⁿ

Nous devons déterminer la valeur de W₈. En utilisant la formule de la suite géométrique, nous avons :

W₈ = W₀ * 2⁸ = 256 * W₀ = 256 * 1 = 256

Exercice 3 : Sens de Variation et Limite

Continuons avec un exercice qui nécessite d'analyser le sens de variation d'une suite et de déterminer sa limite. Nous avons la suite suivante :

U_n+1 = U_n * 1.03

En analysant cette formule, nous voyons que la suite est croissante, car chaque terme est multiplié par 1.03, une valeur supérieure à 1. De plus, cette suite n'a pas de limite finie, car elle continue de croître sans jamais s'arrêter.

Exercice 4 : Comparaison de Situations

Terminons en abordant un problème qui demande de comparer deux situations financières à l'aide de suites. Nous avons Baptiste avec une somme de départ de 1700 euros et qui gagne 30 euros de plus chaque mois. Chloé, quant à elle, voit sa somme augmenter de 3% chaque mois.

En utilisant les formules des suites arithmétiques et géométriques, nous modélisons les deux situations :

Baptiste : B_n = 1700 + 30n

Chloé : C_n = 1700 * 1.03ⁿ

Pour comparer les deux situations sur 24 mois (2 ans), nous utilisons la calculatrice pour obtenir les valeurs des deux suites. En observant les résultats, nous pouvons voir que Chloé a une somme plus élevée que Baptiste après 2 ans.

Voilà qui conclut cette vidéo sur la résolution d'exercices liés aux suites numériques. J'espère que vous avez renforcé vos compétences et votre compréhension de ce sujet passionnant. Continuez à pratiquer et à explorer davantage pour devenir un maître des suites numériques.