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Bienvenue dans cet article qui explore en détail un exercice captivant sur les variations de fonctions. Dans cette leçon, nous allons analyser une vidéo pédagogique qui aborde un exercice mettant en avant des techniques cruciales pour comprendre et résoudre des problèmes liés aux variations de fonctions. Si vous êtes en classe de première et que vous souhaitez maîtriser ces concepts, continuez à lire pour une explication approfondie.
Dans cette vidéo, l'exercice 2 est abordé, et il se révèle un peu plus complexe que le précédent, mais il nous permettra d'appliquer diverses techniques essentielles pour analyser les variations d'une fonction. Nous commençons par déterminer l'ensemble de définition de la fonction en question. Il est crucial de noter que toute division par zéro est impossible, car le dénominateur ne peut pas être égal à zéro.
Ensuite, nous cherchons une valeur de x qui rendrait le dénominateur égal à zéro. Cela nous permet d'identifier une valeur interdite pour notre fonction. Dans cet exercice, cette valeur est x = -2. Par conséquent, l'ensemble de définition de la fonction est R privé de x = -2.
Notre objectif principal est de calculer la dérivée de la fonction, mais avant d'atteindre ce point, nous devons déterminer les valeurs de x pour lesquelles la dérivée est nulle. Pour ce faire, nous isolons le numérateur du quotient de la fonction et utilisons le discriminant pour trouver les solutions de l'équation.
Le tableau de signes est un outil crucial dans l'analyse des variations de fonctions. Grâce à lui, nous pouvons déterminer le signe de la dérivée en fonction des valeurs de x. Ici, il est important de noter que le dénominateur de la dérivée est toujours positif, ce qui signifie que le signe de la dérivée dépend uniquement du numérateur.
En utilisant les techniques des polynômes du second degré, nous calculons le discriminant pour déterminer les racines de l'équation et ensuite, à l'aide des racines, nous pouvons établir le tableau de signes complet.
Le tableau de signes nous permet de conclure que la dérivée est négative entre les racines et positive à l'extérieur. En appliquant cette information, nous pouvons créer le tableau de variation de la fonction, mettant en évidence les intervalles de croissance et de décroissance.
Enfin, nous identifions les valeurs des extrémums locaux en substituant les valeurs des x correspondants dans la fonction. Nous trouvons x = -2 - √3 et x = -2 + √3 comme les valeurs pour lesquelles la dérivée s'annule.
Cet exercice nous a permis de mettre en pratique diverses techniques pour analyser les variations d'une fonction. Nous avons calculé la dérivée en utilisant les règles du quotient et déterminé les racines pour lesquelles la dérivée est nulle. Grâce aux tableaux de signes, nous avons identifié les intervalles de croissance et de décroissance, et nous avons trouvé les valeurs des extrémums locaux. Cette analyse complète nous permet de comprendre en profondeur le comportement de la fonction et de tirer des conclusions précises sur ses variations.
En résumé, cet exercice nous a montré l'importance des tableaux de signes, des polynômes du second degré et des dérivées pour étudier les variations d'une fonction. Ces compétences seront essentielles pour aborder des exercices plus complexes en première et pour développer une compréhension approfondie des concepts mathématiques liés aux fonctions.
Maintenant que vous avez suivi cette analyse approfondie de l'exercice sur les variations de fonctions, vous êtes mieux préparés à résoudre des problèmes similaires et à développer vos compétences en analyse mathématique. N'oubliez pas de vous abonner à notre chaîne YouTube pour plus de vidéos éducatives passionnantes et restez à l'affût des nouvelles leçons sur les notions scolaires. Continuez à explorer le monde captivant des mathématiques avec détermination et curiosité !
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