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🔴 Exercice sur les extrêmums et les Variations de fonctions

Exercice corrigé : Détermination d'un extrémum d'une fonction à partir d'un tableau de variations

Dans cette leçon, nous allons résoudre un exercice de mathématiques passionnant qui porte sur les variations de fonctions en première année. Nous allons découvrir comment déterminer un extrémum d'une fonction en utilisant un tableau de variations. Accrochez-vous, car nous allons plonger dans les détails et maîtriser cette technique avec brio !

Énoncé de l'exercice

Notre exercice se penche sur la détermination d'un extrémum d'une fonction spécifique. Tout d'abord, examinons l'énoncé de l'exercice :

Soit la fonction F définie sur l'intervalle [0, +∞[ par F(x) = x + 1/x. Démontrer que cette fonction admet un minimum et trouver la valeur de ce minimum.

Étape 1 : Analyse de l'intervalle de définition et de dérivabilité

Pour résoudre cet exercice, nous allons suivre une approche méthodique. Tout d'abord, déterminons l'intervalle de définition et l'intervalle de dérivabilité de la fonction F(x). L'intervalle de définition est [0, +∞[, car la fonction est définie pour tous les nombres réels positifs.

L'intervalle de dérivabilité est également [0, +∞[, car le 0 est exclu de l'intervalle. Ainsi, la fonction F(x) est dérivable sur [0, +∞[.

Étape 2 : Calcul de la dérivée de la fonction

La prochaine étape consiste à calculer la dérivée de la fonction F(x). La dérivée de F(x) est :

F'(x) = 1 - 1/x².

Nous pouvons simplifier cette expression en mettant en dénominateur commun :

F'(x) = (x² - 1)/x².

Ensuite, nous pouvons factoriser (x² - 1) en utilisant l'identité remarquable a² - b² = (a + b)(a - b) :

F'(x) = (x + 1)(x - 1)/x².

Maintenant, notre dérivée est simplifiée sous cette forme. Cela nous permettra d'étudier le signe de la dérivée pour analyser les variations de la fonction F(x).

Étape 3 : Analyse des variations de la fonction

Nous allons maintenant analyser le signe de la dérivée F'(x) pour déterminer les variations de la fonction F(x). Nous excluons les valeurs strictement positives, car elles n'affectent pas le signe de la dérivée.

Notre intervalle d'analyse se situe dans [0, +∞[, et nous pouvons voir que F'(x) dépend uniquement de x - 1. Lorsque x - 1 > 0, c'est-à-dire pour x > 1, F'(x) est positif. Lorsque x - 1 < 0, c'est-à-dire pour x < 1, F'(x) est négatif.

Cela signifie que F(x) est d'abord décroissante (négative) sur l'intervalle [0, 1[ et ensuite croissante (positive) sur l'intervalle ]1, +∞[.

Étape 4 : Construction du tableau de variations

Nous allons maintenant construire le tableau de variations de la fonction F(x) en utilisant les informations que nous avons obtenues. Voici comment le tableau de variations se présente :

x 0 1 +
Signe de F'(x) - 0 +
Variations de F(x) D N C

Le tableau indique que la fonction F(x) est décroissante (D) sur [0, 1[ et croissante (C) sur ]1, +∞[.

Étape 5 : Détermination du minimum

En observant le tableau de variations, nous pouvons identifier le minimum de la fonction F(x). Le minimum se trouve à l'extrémité gauche de l'intervalle où la fonction est décroissante, c'est-à-dire à x = 0.

Ainsi, le minimum de la fonction F(x) est F(0) = 0 + 1/0 = +∞.

Conclusion

En conclusion, nous avons analysé en détail la fonction F(x) définie par F(x) = x + 1/x sur l'intervalle [0, +∞[. Nous avons calculé sa dérivée, étudié les variations de la fonction, construit un tableau de variations et déterminé son minimum. Le minimum de F(x) est +∞, et il se trouve à x = 0. Ce travail méthodique et analytique nous permet de comprendre en profondeur le comportement de la fonction et d'en extraire des informations importantes.

Nous espérons que cette leçon vous a été utile pour comprendre la méthode de détermination d'extrémum à partir d'un tableau de variations. Assurez-vous de pratiquer davantage pour renforcer vos compétences en résolution d'exercices similaires. Restez à l'affût pour plus de leçons passionnantes sur les mathématiques et d'autres sujets connexes. À bientôt sur Novel Classe !