🟡 Exercices corrigés sur le Produit scalaire

Exercice de Produit Scalaire en Première : Calculs de Normes et Angles

Bienvenue dans cet exercice de mathématiques en première, où nous allons aborder le produit scalaire, un concept fondamental dans le domaine de la géométrie vectorielle. Dans cette vidéo, Théo de NovelClass nous guide à travers une série de calculs pour déterminer les normes des vecteurs et les angles entre eux.

Calcul des Normes des Vecteurs

Commençons par calculer les normes des vecteurs donnés, à savoir A, B, AC et BC. La norme d'un vecteur U est définie comme la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Par exemple, si nous prenons un vecteur U avec des coordonnées (X, Y), sa norme serait √(X² + Y²).

Pour le vecteur AB :

Nous avons les coordonnées XA = 3, YA = 2 et XB = 0, YB = 5.

Norme de AB = √((0 - 3)² + (5 - 2)²) = √(9 + 9) = 3√2.

De même, pour les vecteurs AC et BC :

Pour AC :

Nous avons XA = 3, YA = 2 et XC = -2, YC = -1.

Norme de AC = √((-2 - 3)² + (-1 - 2)²) = √(25 + 9) = √34.

Pour BC :

Nous avons XB = 0, YB = 5 et XC = -2, YC = -1.

Norme de BC = √((-2 - 0)² + (-1 - 5)²) = √(4 + 36) = 2√10.

Calcul des Angles entre les Vecteurs

Maintenant, intéressons-nous aux angles entre les vecteurs en utilisant la formule du produit scalaire. Pour rappel, la formule du produit scalaire entre deux vecteurs U et V est donnée par U ⋅ V = ||U|| × ||V|| × cos(θ), où θ est l'angle entre les vecteurs.

Pour les angles BAC et ACB :

Nous allons utiliser la formule cos(θ) = (U ⋅ V) / (||U|| × ||V||), où U et V sont les vecteurs en question.

Pour l'angle BAC entre AB et AC :

cos(BAC) = (AB ⋅ AC) / (||AB|| × ||AC||) = 6 / (3√2 × √34) = 1 / √17.

En utilisant la calculatrice, nous trouvons que l'angle BAC ≈ 76 degrés.

Pour l'angle ACB entre AC et BC :

cos(ACB) = (AC ⋅ BC) / (||AC|| × ||BC||) = 28 / (√34 × 2√10) = 7 / √85.

En utilisant la calculatrice, nous trouvons que l'angle ACB ≈ 41 degrés.

Conclusion

Cet exercice nous a permis de mettre en pratique la notion de produit scalaire pour calculer les normes des vecteurs et les angles entre eux. Les formules du produit scalaire nous ont été d'une grande aide pour résoudre les problèmes. Il est essentiel de maîtriser ces concepts en mathématiques, car ils sont largement utilisés dans diverses applications, y compris la géométrie, la physique et l'ingénierie.

Si vous souhaitez explorer davantage d'exercices de ce type ou si vous avez des questions, n'hésitez pas à le mentionner dans les commentaires. Rejoignez-nous dans la prochaine vidéo pour approfondir vos connaissances en mathématiques. C'était Théo de NovelClass, à bientôt !