🟢 Variations de la fonction exponentielle

Maîtriser les Exercices sur la Fonction Exponentielle en Première : Correction Détaillée

Bienvenue dans ce cours passionnant avec Théo de Novel Class ! Dans cette vidéo, nous allons plonger dans les exercices captivants autour de la fonction exponentielle en première année. Préparez-vous à une plongée en profondeur dans le monde des dérivées, des variations et des tableaux de signes.

Exercice 1 : Calcul de la Dérivée

Dans cette première question, nous nous penchons sur le calcul de la dérivée de la fonction f_2x = 2x * e^x. Tout d'abord, il est essentiel de montrer que cette fonction est dérivable. Nous avons ici un produit de deux fonctions : 2x et e^x, toutes deux dérivables sur l'ensemble des réels. Ainsi, la fonction f_2x est également dérivable sur R.

Maintenant, passons au calcul de la dérivée. Nous utilisons la règle du produit, notée (uv)', qui stipule que la dérivée d'un produit est égale à la dérivée de la première fonction multipliée par la seconde, plus la première fonction multipliée par la dérivée de la seconde.

En appliquant cette règle, nous obtenons f'_x = (2 * e^x) + (x * e^x) = 2e^x + xe^x.

En factorisant par e^x, nous arrivons à f'_x = e^x(2 + x). Voilà, nous avons réussi à calculer la dérivée de la fonction f_2x avec précision et rigueur.

Exercice 2 : Étude des Variations

Dans cette deuxième question, nous plongeons dans l'analyse des variations de la fonction f_x = x * e^x. Avant de dériver, nous commençons par montrer que la fonction est définie sur l'ensemble des réels, car x et e^x sont tous deux définis sur R.

Ensuite, nous devons prouver que la fonction est dérivable. En utilisant la règle de dérivation pour le produit de deux fonctions, nous calculons la dérivée f'_x = e^x(1 + x).

Maintenant, passons à l'essentiel : l'étude des variations. Pour cela, nous observons où la dérivée f'_x s'annule. En posant 1 + x = 0, nous trouvons que x = -1 est le point où la dérivée s'annule.

En examinant le comportement de la dérivée autour de ce point, nous constatons que f'_x est négative pour les valeurs de x < -1, puis devient positive pour les valeurs de x > -1. En combinant cela avec le fait que f_x est définie et dérivable sur R, nous pouvons dresser le tableau de variations : la fonction f_x est d'abord décroissante puis croissante.

Enfin, nous calculons la valeur de f_x en x = -1, ce qui nous donne environ -0,4. Ainsi, nous avons mené une analyse exhaustive des variations de la fonction f_x = x * e^x.

Conclusion

Cette vidéo d'exercices, guidée par l'expertise de Théo de Novel Class, nous a immergés dans le monde stimulant de la fonction exponentielle en première année. Grâce à des calculs précis et à une analyse détaillée, nous avons réussi à résoudre des exercices complexes, tout en comprenant les notions clés de la dérivée et des variations.

Restez à l'écoute pour notre prochaine vidéo où nous explorerons un autre sujet passionnant : la trigonométrie. Félicitations pour avoir relevé ce défi et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !