**Exercices de mathématiques : Fonction exponentielle en première**
Bienvenue à toi, je suis Théo de Novel Class et aujourd'hui, nous allons résoudre des exercices sur la fonction exponentielle en première. Commençons par la première question.
**Question 1 : Montrer que la fonction f(2x) est impaire**
Pour démontrer que la fonction f(2x) est impaire, nous allons suivre ces étapes :
1. Exprimer f(-x) en termes de f(x).
2. Montrer que f(-x) est égal à -f(x).
Tout d'abord, rappelons que pour qu'une fonction soit impaire, elle doit satisfaire la condition suivante : f(-x) = -f(x).
**Étape 1 : Exprimer f(-x) en termes de f(x)**
Nous commençons par exprimer f(-x). Selon la définition donnée dans l'énoncé, une fonction impaire doit satisfaire la propriété suivante : f(-x) = -f(x).
Donc, calculons f(-x) :
f(-x) = exp(-x) - 1 / (exp(-x) + 1)
**Étape 2 : Montrer que f(-x) est égal à -f(x)**
Maintenant, nous allons simplifier f(-x) et montrer qu'il est égal à -f(x).
f(-x) = (exp(-x) - 1) / (exp(-x) + 1)
Pour obtenir une forme similaire à f(x), nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par exp(x) pour éliminer les exposants négatifs :
f(-x) = (exp(-x) - 1) / (exp(-x) + 1) * (exp(x) / exp(x))
Maintenant, simplifions le numérateur et le dénominateur :
f(-x) = (exp(-x) * exp(x) - exp(x)) / (exp(-x) * exp(x) + exp(x))
f(-x) = (exp(0) - exp(x)) / (exp(0) + exp(x))
f(-x) = (1 - exp(x)) / (1 + exp(x))
Maintenant, comparons f(-x) avec -f(x) :
-f(x) = -(exp(x) - 1) / (exp(x) + 1)
-f(x) = (1 - exp(x)) / (1 + exp(x))
Nous pouvons voir que f(-x) est en fait égal à -f(x). Par conséquent, la fonction f(2x) est bien impaire.
**Conclusion :** Nous avons réussi à montrer que la fonction f(2x) est impaire en démontrant que f(-x) est égal à -f(x). Cette propriété est vérifiée, ce qui confirme que la fonction est impaire, comme demandé dans l'exercice.
Passons maintenant à la deuxième question.
**Question 2 : Résoudre l'inéquation exponentielle**
L'inéquation donnée est : exp(2x) - exp(x) + 1 < 0.
Pour résoudre cette inéquation, nous allons suivre ces étapes :
1. Réarranger l'inéquation pour obtenir une forme plus facile à traiter.
2. Trouver les valeurs de x qui satisfont l'inéquation.
**Étape 1 : Réarranger l'inéquation**
Commençons par réarranger l'inéquation pour obtenir une forme plus simple. Soustrayons 1 des deux côtés :
exp(2x) - exp(x) + 1 - 1 < 0
exp(2x) - exp(x) < -1
**Étape 2 : Trouver les valeurs de x**
Maintenant, nous allons résoudre l'inéquation réarrangée.
Nous pouvons utiliser une substitution pour simplifier le calcul. Posons y = exp(x). L'inéquation devient :
y^2 - y < -1
Réarrangeons cette inéquation en soustrayant -1 des deux côtés :
y^2 - y + 1 < 0
Maintenant, nous allons résoudre cette inéquation quadratique en utilisant le discriminant. Le discriminant d'une inéquation quadratique de la forme ay^2 + by + c < 0 est donné par Δ = b^2 - 4ac.
Dans notre cas, a = 1, b = -1, et c = 1. Calculons le discriminant :
Δ = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3
Le discriminant est négatif, ce qui signifie que l'inéquation n'a pas de solutions réelles. Par conséquent, il n'y a pas de valeurs de x qui satisfont l'inéquation exponentielle donnée.
**Conclusion :** Après avoir réarrangé l'inéquation et résolu l'équation quadratique équivalente, nous avons trouvé que l'inéquation exp(2x) - exp(x) + 1 < 0 n'a pas de solutions réelles. En d'autres termes, il n'y a pas de valeurs de x qui satisfont cette inéquation.
