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🟡 Equations avec l'exponentielle

**Exercices de mathématiques : Fonction exponentielle en première** Bienvenue à toi, je suis Théo de Novel Class et aujourd'hui, nous allons résoudre des exercices sur la fonction exponentielle en première. Commençons par la première question. **Question 1 : Montrer que la fonction f(2x) est impaire** Pour démontrer que la fonction f(2x) est impaire, nous allons suivre ces étapes : 1. Exprimer f(-x) en termes de f(x). 2. Montrer que f(-x) est égal à -f(x). Tout d'abord, rappelons que pour qu'une fonction soit impaire, elle doit satisfaire la condition suivante : f(-x) = -f(x). **Étape 1 : Exprimer f(-x) en termes de f(x)** Nous commençons par exprimer f(-x). Selon la définition donnée dans l'énoncé, une fonction impaire doit satisfaire la propriété suivante : f(-x) = -f(x). Donc, calculons f(-x) : f(-x) = exp(-x) - 1 / (exp(-x) + 1) **Étape 2 : Montrer que f(-x) est égal à -f(x)** Maintenant, nous allons simplifier f(-x) et montrer qu'il est égal à -f(x). f(-x) = (exp(-x) - 1) / (exp(-x) + 1) Pour obtenir une forme similaire à f(x), nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par exp(x) pour éliminer les exposants négatifs : f(-x) = (exp(-x) - 1) / (exp(-x) + 1) * (exp(x) / exp(x)) Maintenant, simplifions le numérateur et le dénominateur : f(-x) = (exp(-x) * exp(x) - exp(x)) / (exp(-x) * exp(x) + exp(x)) f(-x) = (exp(0) - exp(x)) / (exp(0) + exp(x)) f(-x) = (1 - exp(x)) / (1 + exp(x)) Maintenant, comparons f(-x) avec -f(x) : -f(x) = -(exp(x) - 1) / (exp(x) + 1) -f(x) = (1 - exp(x)) / (1 + exp(x)) Nous pouvons voir que f(-x) est en fait égal à -f(x). Par conséquent, la fonction f(2x) est bien impaire. **Conclusion :** Nous avons réussi à montrer que la fonction f(2x) est impaire en démontrant que f(-x) est égal à -f(x). Cette propriété est vérifiée, ce qui confirme que la fonction est impaire, comme demandé dans l'exercice. Passons maintenant à la deuxième question. **Question 2 : Résoudre l'inéquation exponentielle** L'inéquation donnée est : exp(2x) - exp(x) + 1 < 0. Pour résoudre cette inéquation, nous allons suivre ces étapes : 1. Réarranger l'inéquation pour obtenir une forme plus facile à traiter. 2. Trouver les valeurs de x qui satisfont l'inéquation. **Étape 1 : Réarranger l'inéquation** Commençons par réarranger l'inéquation pour obtenir une forme plus simple. Soustrayons 1 des deux côtés : exp(2x) - exp(x) + 1 - 1 < 0 exp(2x) - exp(x) < -1 **Étape 2 : Trouver les valeurs de x** Maintenant, nous allons résoudre l'inéquation réarrangée. Nous pouvons utiliser une substitution pour simplifier le calcul. Posons y = exp(x). L'inéquation devient : y^2 - y < -1 Réarrangeons cette inéquation en soustrayant -1 des deux côtés : y^2 - y + 1 < 0 Maintenant, nous allons résoudre cette inéquation quadratique en utilisant le discriminant. Le discriminant d'une inéquation quadratique de la forme ay^2 + by + c < 0 est donné par Δ = b^2 - 4ac. Dans notre cas, a = 1, b = -1, et c = 1. Calculons le discriminant : Δ = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 Le discriminant est négatif, ce qui signifie que l'inéquation n'a pas de solutions réelles. Par conséquent, il n'y a pas de valeurs de x qui satisfont l'inéquation exponentielle donnée. **Conclusion :** Après avoir réarrangé l'inéquation et résolu l'équation quadratique équivalente, nous avons trouvé que l'inéquation exp(2x) - exp(x) + 1 < 0 n'a pas de solutions réelles. En d'autres termes, il n'y a pas de valeurs de x qui satisfont cette inéquation.
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